知识点讲解
三角形是最基本的多边形，其内角和定理是平面几何的基石。
三角形内角和定理
💡 知识要点
定理： 三角形三个内角的和等于 $180°$。
证明思路： 过顶点作平行线，利用平行线性质将三个内角转化为平角。
三角形外角性质
- 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
- 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角
三角形按角分类
- 锐角三角形：三个内角都小于 $90°$
- 直角三角形：有一个内角等于 $90°$
- 钝角三角形：有一个内角大于 $90°$
典型例题
利用内角和与外角性质求角度
在 $\triangle ABC$ 中，$\angle A = 50°$，$\angle B = 70°$，$CD$ 是 $\angle ACB$ 的平分线，求 $\angle CDB$ 的度数。
解： 在 $\triangle ABC$ 中： $\angle ACB = 180° - 50° - 70° = 60°$
因为 $CD$ 平分 $\angle ACB$： $\angle ACD = \frac{60°}{2} = 30°$
在 $\triangle ACD$ 中，$\angle CDB$ 是外角： $\angle CDB = \angle A + \angle ACD = 50° + 30° = 80°$
课堂练习
✏️ 练习题
- 在 $\triangle ABC$ 中，$\angle A : \angle B : \angle C = 1 : 2 : 3$，判断这个三角形的形状。
- 如图，$\angle 1$、$\angle 2$、$\angle 3$ 是三角形的三个外角，求证：$\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 360°$。
- 一个等腰三角形的顶角是 $40°$，求它的底角的度数。
✅ 参考答案
- 设 $\angle A = x$，则 $x + 2x + 3x = 180°$，$x = 30°$。三个角分别为 $30°$、$60°$、$90°$，是直角三角形。
- 每个外角等于不相邻两内角之和，三个外角和 = $2(\angle A + \angle B + \angle C) = 2 \times 180° = 360°$
- 底角 = $(180° - 40°) \div 2 = 70°$