知识点讲解
统计学是研究数据收集、整理、分析和推断的学科。初中阶段主要学习描述统计的基本量。
平均数
💡 知识要点
算术平均数： $\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}$
加权平均数： $\bar{x} = \frac{x_1w_1 + x_2w_2 + \cdots + x_nw_n}{w_1 + w_2 + \cdots + w_n}$
中位数与众数
- 中位数：将数据按大小排列后，位于中间位置的数（奇数个取中间，偶数个取中间两数平均）
- 众数：数据中出现次数最多的数
方差与标准差
方差反映数据的波动程度： $$s^2 = \frac{1}{n}[(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + \cdots + (x_n - \bar{x})^2]$$
方差越小，数据越稳定。
典型例题
统计量的计算与应用
某班10名学生的数学成绩为：78, 82, 85, 85, 88, 90, 92, 95, 95, 100
求：平均数、中位数、众数
解： 平均数：$\bar{x} = \frac{78+82+85+85+88+90+92+95+95+100}{10} = \frac{890}{10} = 89$
中位数：第5、6个数为88和90，中位数 = $\frac{88+90}{2} = 89$
众数：85和95都出现了2次，所以众数为85和95
课堂练习
✏️ 练习题
- 求数据 $3, 5, 7, 7, 8, 9, 10$ 的平均数、中位数和众数。
- 甲、乙两名运动员各射击10次，成绩如下： 甲：8, 9, 7, 9, 8, 10, 7, 9, 8, 9 乙：9, 8, 9, 7, 8, 9, 10, 8, 9, 8 分别计算两人的平均成绩，并判断谁更稳定。
- 一组数据 $2, 4, x, 6, 8$ 的平均数为5，求 $x$ 的值及这组数据的中位数。
✅ 参考答案
- 平均数 = $\frac{49}{7} = 7$；中位数 = 7；众数 = 7
- 甲平均 = 8.4，乙平均 = 8.5；计算方差可知甲方差较小，甲更稳定
- $\frac{2+4+x+6+8}{5} = 5$，$20 + x = 25$，$x = 5$；排序后 $2, 4, 5, 6, 8$，中位数 = 5