知识点讲解
形如 $y = kx + b$（$k$、$b$ 为常数，且 $k \neq 0$）的函数叫做一次函数。当 $b = 0$ 时，$y = kx$ 叫做正比例函数，是一次函数的特殊形式。
图像与性质
一次函数的图像是一条直线。
💡 知识要点
$k$ 的作用（斜率）：
- $k > 0$：函数值 $y$ 随 $x$ 增大而增大，图像从左下向右上倾斜
- $k < 0$：函数值 $y$ 随 $x$ 增大而减小，图像从左上向右下倾斜
- $|k|$ 越大，直线越陡
$b$ 的作用（截距）：
- $b > 0$：直线与 $y$ 轴交于正半轴
- $b < 0$：直线与 $y$ 轴交于负半轴
- $b = 0$：直线过原点
求函数解析式
常用待定系数法：设 $y = kx + b$，代入已知点的坐标，解方程组求 $k$、$b$。
典型例题
求一次函数解析式
已知一次函数的图像经过点 $(2, 5)$ 和 $(-1, -4)$，求这个函数的解析式。
解： 设 $y = kx + b$
代入两点： $\begin{cases} 2k + b = 5 \ -k + b = -4 \end{cases}$
两式相减：$3k = 9$，$k = 3$
代入第一式：$6 + b = 5$，$b = -1$
解析式： $y = 3x - 1$
课堂练习
✏️ 练习题
- 已知 $y$ 是 $x$ 的一次函数，当 $x = 1$ 时 $y = 3$，当 $x = -1$ 时 $y = 7$，求函数解析式。
- 直线 $y = 2x - 3$ 与 $x$ 轴、$y$ 轴分别交于 $A$、$B$ 两点，求 $\triangle AOB$ 的面积。
- 若一次函数 $y = (m-2)x + 3$ 的函数值随 $x$ 增大而减小，求 $m$ 的取值范围。
✅ 参考答案
- 设 $y = kx + b$，$\begin{cases} k + b = 3 \ -k + b = 7 \end{cases}$，解得 $k = -2$，$b = 5$，$y = -2x + 5$
- 令 $y = 0$，$x = 1.5$；令 $x = 0$，$y = -3$。面积 = $\frac{1}{2} \times 1.5 \times 3 = 2.25$
- 由题意 $m - 2 < 0$，所以 $m < 2$