知识点讲解
勾股定理是几何学中最重要、最著名的定理之一，揭示了直角三角形三边之间的数量关系。
💡 知识要点
勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
若直角三角形的两直角边为 $a$、$b$，斜边为 $c$，则： $$a^2 + b^2 = c^2$$
勾股定理的逆定理
如果三角形的三边 $a$、$b$、$c$ 满足 $a^2 + b^2 = c^2$，那么这个三角形是直角三角形。
常见勾股数
- $(3, 4, 5)$ 及其倍数
- $(5, 12, 13)$
- $(7, 24, 25)$
- $(8, 15, 17)$
典型例题
勾股定理的应用
如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB = 13$，$BC = 14$，$AC = 15$，求 $BC$ 边上的高 $AD$ 的长度。
解： 设 $BD = x$，则 $CD = 14 - x$
在 $Rt\triangle ABD$ 中：$AD^2 = AB^2 - BD^2 = 169 - x^2$
在 $Rt\triangle ACD$ 中：$AD^2 = AC^2 - CD^2 = 225 - (14-x)^2$
所以：$169 - x^2 = 225 - (196 - 28x + x^2)$ $169 - x^2 = 225 - 196 + 28x - x^2$ $169 = 29 + 28x$ $28x = 140$，$x = 5$
$AD^2 = 169 - 25 = 144$，$AD = 12$
课堂练习
✏️ 练习题
- 直角三角形的两直角边分别为 $6$ 和 $8$，求斜边的长度。
- 判断以 $7$、$24$、$25$ 为边的三角形是否为直角三角形。
- 一架梯子长 $5$ 米，靠在墙上，梯脚距墙 $3$ 米，求梯子顶端距地面的高度。
✅ 参考答案
- $c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10$
- $7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$，是直角三角形
- $h = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{16} = 4$（米）